1. মনে মনে করি:
(a) শূন্য ছাড়া 5 -এর 6 টি গুণিতক খুঁজি।
(a) শূন্য ছাড়া 5 -এর 6 টি গুণিতক খুঁজি।
5-এর 6টি গুণিতক হল 5, 10,15, 20, 25 ও 30।
(b) 7-এর 3টি গুণিতক খুঁজি যারা 50-এর বড়ো।
50 অপেক্ষা বড়ো 7-এর তিনটি গুণিতক হল 56, 63 ও 70।
(c) দুটি 2 অঙ্কের সংখ্যা ভাবি যারা 4-এর গুণিতক।
2 অঙ্কের 4-এর গুণিতক দুটি সংখ্যা হল 12 এবং 16।
(d) 4 কোন কোন সংখ্যার উৎপাদক বা গুণনীয়ক হতে পারে এমন তিনটি সংখ্যা লিখি।
4 সংখ্যাটি 12, 16, 20 ইত্যাদি সংখ্যাগুলির উৎপাদক বা গুননীয়ক হতে পারে।
(e) এমন দুটি সংখ্যা খুঁজি যাদের ল.সা.গু. 12 এবং যাদের যোগফল 10।
4 ও 6 হল এমন দুটি সংখ্যা যাদের ল.সা.গু. 12 এবং যোগফল 10।
2. (a) 14-এর মৌলিক উৎপাদক কী কী ?
$\therefore$ $14=2 \times 7$ অর্থাৎ 14-এর মৌলিক উৎপাদক 2, 7
(b) সবচেয়ে ছোটো মৌলিক সংখ্যা কী?
সবচেয়ে ছোটো মৌলিক সংখ্যা 2।
(c) কোন্ সংখ্যা মৌলিকও নয়, আবার যৌগিকও নয়?
1 সংখ্যাটি মৌলিকও নয় আবার যৌগিকও নয়।
3. (A) 42 কোন্ কোন্ সংখ্যার গুণিতক— (a) 7 (b) 13 (c) 5 (d) 6.
42 সংখ্যাটি (a) 7 এবং (d) 6-এর গুণিতক।
(B) 11 কোন সংখ্যার গুণনীয়ক— (a) 101 (b) 111 (c) 121 (d) 112
11 সংখ্যাটি (c) 121-এর গুণনীয়ক ।
4. সংখ্যাজোড়ার মধ্যে কোনগুলি পরস্পর মৌলিক সংখ্যা দেখি
(a) 5, 7 (b) 10, 21 (c) 10, 15 (d) 16, 15
(a) 5, 7 (b) 10, 21 (c) 10, 15 (d) 16, 15
(a) 5, 7
এদের 1 ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই। তাই এরা পরস্পর মৌলিক।
(b) 10, 21
1 ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই। তাই এরা পরস্পর মৌলিক।
(c) 10, 15
1 ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ উৎপাদক আছে। তাই এরা পরস্পর মৌলিক নয়।
(d) 16, 15
এদের 1 ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই। তাই এরা পরস্পর মৌলিক।
এদের 1 ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই। তাই এরা পরস্পর মৌলিক।
(b) 10, 21
1 ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই। তাই এরা পরস্পর মৌলিক।
(c) 10, 15
1 ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ উৎপাদক আছে। তাই এরা পরস্পর মৌলিক নয়।
(d) 16, 15
এদের 1 ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই। তাই এরা পরস্পর মৌলিক।
5. এমন দুটি যৌগিক সংখ্যা খুঁজি যারা পরস্পর মৌলিক।
দুটি যৌগিক সংখ্যার উদাহরণ হল : 4, 9 এবং 15, 16 যারা পরস্পর মৌলিক।
6. (a) পরস্পর মৌলিক সংখ্যার গ.সা.গু. কত লিখি।
(b) পরস্পর মৌলিক সংখ্যার ল.সা.গু. কত লিখি।
(b) পরস্পর মৌলিক সংখ্যার ল.সা.গু. কত লিখি।
(a) পরস্পর মৌলিক সংখ্যার গ.সা.গু. 1
(b) পরস্পর মৌলিক সংখ্যার ল.সা.গু. = সংখ্যাদুটির গুণফল।
(b) পরস্পর মৌলিক সংখ্যার ল.সা.গু. = সংখ্যাদুটির গুণফল।
7. নিচের সংখ্যাগুলি 1 এবং মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে গ.সা.গু খুঁজি:
(a) 22, 44
(a) 22, 44
$\therefore$ $22 =2 \times 11 \times 1$
$\therefore$ $44 =2 \times 2 \times 11 \times 1$
$\therefore$ 22 ও 24-এর গ.সা.গু. $=2 \times 11 \times 1 = 22$
(b) 54, 72
$\therefore$ $54=2 \times 3 \times 3 \times 3$
$\therefore$ $72=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3$
$\therefore$ 54, 72-এর গ.সা.গু. $=2 \times 3 \times 3=18$
(c) 27, 64
$\therefore$ $27=3 \times 3 \times 3 \times 1$
$64=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 1$
নির্ণেয় গ.সা.গু. = 1
(d) 36, 30
$\therefore$ $36=2 \times 2 \times 3 \times 3$
$\therefore$ $30=2 \times 3 \times 5$
$\therefore$ 36, 30-এর গ.সা.গু. $=2 \times 3=6$
(e) 28, 35, 49
$\therefore$ $28=2 \times 2 \times 7$
$\therefore$ $35=7 \times 5$
$\therefore$ $49=7 \times 7$
$\therefore$ 28, 35, 49 এর গ.সা.গু. = 7
(f) 30, 72, 96
$\therefore$ $30=2 \times 3 \times 5$
$\therefore$ $72=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3$
$\therefore$ $96=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3$
$\therefore$ 30, 72, 96-এর গ.সা.গু. $2 \times 3=6$
(g) $20, \square, \square$ (শূন্য ছাড়া সংখ্যা বসাই)।
$\therefore$ $20=2 \times 2 \times 5$
$\therefore 36=2 \times 2 \times 3 \times 3$
$\therefore 42=2 \times 3 \times 7$
$\therefore$ 20, 36, 42-এর গ.সা.গু = 2
$\therefore 36=2 \times 2 \times 3 \times 3$
$\therefore 42=2 \times 3 \times 7$
$\therefore$ 20, 36, 42-এর গ.সা.গু = 2
8. সংখ্যাগুলির ভাগ প্রক্রিয়ায় গসাগু খুঁজি:
(a) 28, 35
(a) 28, 35
$\therefore$ 28, 35-এর গ.সা.গু. = 7
(b) 54, 72
$\therefore$ 54, 72-এর গ.সা.গু. = 18
(c) 27, 63
$\therefore$ 27, 63-এর গ.সা.গু. = 9
(d) 25, 35, 45
$\therefore$ 25, 35, 45-এর গ.সা.গু. = 5
(e) 48, 72, 96
$\therefore$ 48, 72, 96-এর গ.সা.গু. = 24
9. নীচের সংখ্যাগুলি মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে লসাগু খুঁজি:
(a) 25, 80,
(a) 25, 80,
$\therefore$ 25 ও 80-এর ল.সা.গু. $=5 \times 5 \times 16=400$
(b) 36, 39,
$\therefore$ 36 ও 39 -এর ল.সা.গু. $=3 \times 12 \times 13=468$
(c) 32, 56
$\therefore$ 32 ও 56-এর ল.সা.গু. $=2 \times 2 \times 2 \times 4 \times 7=224$
(d) 36, 48 ও 72
$\therefore$ 36, 48, ও 72-এর ল.সা.গু $=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 2=144$
(e) 25, 35 ও 45
$\therefore$ 25, 35, 45-এর ল.সা.গু. $=5 \times 5 \times 7 \times 9=1575$
(f) 32, 40 এবং 84
$\therefore$ 32, 40, 84-এর ল.সা.গু. $=2 \times 2 \times 2 \times 4 \times 5 \times 21=3360$
10. সংখ্যা জোড়ার মধ্যে কোনগুলি পরস্পর মৌলিক জোড়া খুঁজি:(a) 47, 23,
$47=47 \times 1$
$23=23 \times 1$
$\therefore$ 47, 23-এর গ.সা.গু. = 1
$\therefore$ 47, 23 সংখ্যাজোড়া পরস্পর মৌলিক।
(b) 25, 9
$25=5 \times 5 \times 1$
$9=3 \times 3 \times 1$
$\therefore$ 25, ও 9-এর গ.সা.গু. = 1
$\therefore$ 25, 9 সংখ্যাজোড়া পরস্পর মৌলিক।
(c) 49, 35
$49=7\times 7 \times 1 $
$35=5\times 7\times 1 $
$\therefore$ 49, 35-এর গ.সা.গু. = 7
$\therefore$ 49, 35 সংখ্যাজোড়া পরস্পর মৌলিক নয়।
(d) 36, 54
$\therefore 36=2\times 2 \times 3 \times 3 \times 1$
$\therefore 54=2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 1$
$\therefore$ 36 ও 54 -এর গ.সা.গু. $=2 \times 3 \times 3=18$
$\therefore$ 36 ও 54 সংখ্যাজোড়া পরস্পর মৌলিক নয়।
(a) 33 এবং 132
$\therefore$ নির্ণেয় গ.সা.গু $=3 \times 11 = 33$
$\therefore$ নির্ণেয় ল.সা.গু $=3 \times 11 \times 4=132$
(b) 90 এবং 144
$\therefore$ নির্ণেয় গ.সা.গু. $=2 \times 3 \times 3 = 18$
$\therefore$ নির্ণেয় ল.সা.গু. $=2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 8=720$
(c) 32, 40 এবং 72
$\therefore$ নির্ণেয় গ.সা.গু. $=2 \times 2 \times 2 = 8$
$\therefore$ নির্ণেয় ল.সা.গু. $=2 \times 2 \times 2 \times 4 \times 5 \times 9=1440$
(d) 28, 49, 70
$\therefore$ 28, 43, 70-এর গ.সা.গু. = 7
28, 43, 70-এর ল.সা.গু. $=7 \times 2 \times 2 \times 7 \times 5=980$
12. সবচেয়ে ছোটো সংখ্যা খুঁজি যা 18, 24 ও 42 দিয়ে বিভাজ্য।
$\therefore$ল.সা.গু. $=2 \times 3 \times 3 \times 4 \times 7=504$
$\therefore$ সবচেয়ে ছোটো সংখ্যাটি হল 504 যা 18, 24, 42 দিয়ে বিভাজ্য।
$\therefore$ সবচেয়ে ছোটো সংখ্যাটি হল 504 যা 18, 24, 42 দিয়ে বিভাজ্য।
13. সবচেয়ে বড়ো সংখ্যা খুঁজি যা দিয়ে 45 ও 60-কে ভাগ করলে কোনো ভাগশেষ থাকবে
না।
সংখ্যাটি হবে 45, 60 এর গ.সা.গু.
$\therefore$ নির্ণেয় গ.সা.গু = 15,
$\therefore$ 15 দিয়ে 45, 60 ভাগ করলে কোনো ভাগশেষ থাকবে না।
$\therefore$ নির্ণেয় গ.সা.গু = 15,
$\therefore$ 15 দিয়ে 45, 60 ভাগ করলে কোনো ভাগশেষ থাকবে না।
14. দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. ও গ.সা.গু. যথাক্রমে 252 ও 6; সংখ্যা দুটির গুণফল কত
হিসেব করি।
আমরা জানি দুটি সংখ্যার গুণফল
= সংখ্যা দুটির গ.সা.গু. $\times$ ল.সা.গু
$\therefore$ সংখ্যা দুটির গুণফল $=6 \times 252=1512$
$\therefore$ সংখ্যা দুটির গুণফল 1512
= সংখ্যা দুটির গ.সা.গু. $\times$ ল.সা.গু
$\therefore$ সংখ্যা দুটির গুণফল $=6 \times 252=1512$
$\therefore$ সংখ্যা দুটির গুণফল 1512
15. দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. ও ল.সা.গু. যথাক্রমে 8 ও 280; একটি সংখ্যা 56 হলে
অপর সংখ্যাটি কত হিসাব করি।
আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির গসাগু $\times$ লসাগু
অপর সংখ্যা = $\frac{\text{সংখ্যা দুটির গুণফল}}{\text{একটি সংখ্যা}}$
$\therefore$ অপর সংখ্যা = $\frac{\text{(লসাগু × গসাগু)}}{\text{একটি সংখ্যা}}$
$=\frac{8 \times 280}{56}=40$
$\therefore$ অপর সংখ্যাটি হল 40
দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির গসাগু $\times$ লসাগু
অপর সংখ্যা = $\frac{\text{সংখ্যা দুটির গুণফল}}{\text{একটি সংখ্যা}}$
$\therefore$ অপর সংখ্যা = $\frac{\text{(লসাগু × গসাগু)}}{\text{একটি সংখ্যা}}$
$=\frac{8 \times 280}{56}=40$
$\therefore$ অপর সংখ্যাটি হল 40
16. দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. 1; সংখ্যা দুটি লিখি।
দুটি সংখ্যার গসাগু 1 হলে, সংখ্যা দুটি পরস্পর মৌলিক অবশ্যই পরস্পর মৌলিক।
এরকম সংখ্যা জোড়া হতে পারে 3 ও 5 , 4 ও 9 , 6 ও 7 ইত্যাদি।
এরকম সংখ্যা জোড়া হতে পারে 3 ও 5 , 4 ও 9 , 6 ও 7 ইত্যাদি।
17. 48টি রসগোল্লা ও 64টি সন্দেশ কোনোটি না ভেঙে সবচেয়ে বেশি কতজনকে সমান
সংখ্যায় দেওয়া যাবে দেখি।
$\therefore$ 48 ও 64 -এর গ.সা.গু = 16
$\therefore$ 48 টি রসগোল্লা ও 64টি সন্দেশ না ভেঙে সবচেয়ে বেশি 16 জনকে দেওয়া যাবে।
18. বিভাস ও তার বন্ধুরা মিলে 8 জন অথবা 10 জন করে সদস্য নিয়ে নাটকের একটি দল
তৈরির কথা ভাবল। কমপক্ষে কতজন থাকলে উভয়প্রকার দল তৈরি করতে পারবে হিসেব করি।
8 জন ও 10 জন করে সদস্য নিয়ে নাটকের দল করে কমপক্ষে যত লোক প্রয়োজন সেই সংখ্যাটি হল সংখ্যা দুটির ল.সা.গু।
$\therefore$ 8, 10-এর ল.সা.গু. $=2 \times 4 \times 5=40$
$\therefore$ কমপক্ষে 40 জন প্রয়োজন।
19. যদুনাথ বিদ্যামন্দির স্কুলের ষষ্ঠ শ্রেণির ছাত্রছাত্রীদের, স্কুলের বাগানে
লাগানোর জন্য পঞ্চায়েত থেকে ফুলের চারা পাঠিয়েছে। হিসেব করে দেখা গেল
চারাগুলিকে 20টি, 24টি বা 30টি সারিতে লাগালে প্রতিক্ষেত্রে প্রতিসারিতে সমান
চারা থাকে। পঞ্চায়েত থেকে কমপক্ষে কতগুলি চারা পাঠিয়েছিল হিসেব করে দেখি।
$\therefore$ 20, 24 ও 30-এর লসাগু $=2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 2=120$
$\therefore$ পঞ্চায়েত থেকে কমপক্ষে 120 টি চারা পাঠিয়েছিল।
20. একটি ইঞ্জিনের সামনের চাকার পরিধি 14 ডেসিমি. এবং পিছনের চাকার পরিধি 35
ডেসিমি.। কমপক্ষে কত পথ গেলে চাকা দুটি একই সঙ্গে পূর্ণসংখ্যক বার ঘোরা
সম্পূর্ণ করবে হিসাব করি।
$\therefore$ 14, ও 35-এর ল.সা.গু. $=7 \times 2 \times 5=70$ ।
$\therefore$ কমপক্ষে 70 ডেসিমি. গেলে চাকা দুটি পূর্ণসংখ্যকবার ঘুরবে।
21. আমি প্রতিক্ষেত্রে দুটি করে সংখ্যা লিখি যাদের—
(a) গ.সা.গু. 7 (b) ল.সা.গু. 12 (c) গ.সা.গু. 9 (d) গ.সা.গু. 6
(a) গ.সা.গু. 7 (b) ল.সা.গু. 12 (c) গ.সা.গু. 9 (d) গ.সা.গু. 6
(a) 7 গ.সা.গু. হওয়ার জন্যে 7-এর সঙ্গে যেকোনো দুটি পরস্পর মৌলিক সংখ্যা গুণ
করে এমন সংখ্যা জোড়া তৈরি করা যাবে।
$\therefore$ যেমন: 7×2 ও 7×3 অর্থাৎ 14 ও 21 ।
$\therefore$ আবার, 7×4 ও 7×5 অর্থাৎ 28 ও 35।
(b) 12 ল.সা.গু. হওয়ার জন্যে 12-র উৎপাদকগুলির মধ্যে দুটি পরস্পর মৌলিক উৎপাদক নিতে হবে।
$\therefore 12 = 2\times 2 \times 3 = 3 \times 4 = 12 \times 1$
$\therefore$ এমন সংখ্যা জোড়া হবে (3, 4) ও (12, 1)
(c) গসাগু $\square$ হবে (একটি এক অঙ্কের সংখ্যা)
ধরা যাক, গসাগু 6
6 গ.সা.গু. হওয়ার জন্যে 6-এর সঙ্গে যেকোনো দুটি পরস্পর মৌলিক সংখ্যা গুণ করে এমন সংখ্যা জোড়া তৈরি করা যাবে।
$\therefore$ যেমন: 6×3 ও 6×5 অর্থাৎ 18 ও 30 ।
$\therefore$ আবার, 6×4 ও 6×7 অর্থাৎ 24 ও 42।
(d) লসাগু $\square$ হবে (একটি এক অঙ্কের সংখ্যা)
ধরা যাক, লসাগু 6
6 ল.সা.গু. হওয়ার জন্যে 6-র উৎপাদকগুলির মধ্যে দুটি পরস্পর মৌলিক উৎপাদক নিতে হবে।
$\therefore 6 = 2\times 3 \times 1 = 2 \times 3 = 6 \times 1$
$\therefore$ এমন সংখ্যা জোড়া হবে (2, 3) ও (6, 1)
$\therefore$ যেমন: 7×2 ও 7×3 অর্থাৎ 14 ও 21 ।
$\therefore$ আবার, 7×4 ও 7×5 অর্থাৎ 28 ও 35।
(b) 12 ল.সা.গু. হওয়ার জন্যে 12-র উৎপাদকগুলির মধ্যে দুটি পরস্পর মৌলিক উৎপাদক নিতে হবে।
$\therefore 12 = 2\times 2 \times 3 = 3 \times 4 = 12 \times 1$
$\therefore$ এমন সংখ্যা জোড়া হবে (3, 4) ও (12, 1)
(c) গসাগু $\square$ হবে (একটি এক অঙ্কের সংখ্যা)
ধরা যাক, গসাগু 6
6 গ.সা.গু. হওয়ার জন্যে 6-এর সঙ্গে যেকোনো দুটি পরস্পর মৌলিক সংখ্যা গুণ করে এমন সংখ্যা জোড়া তৈরি করা যাবে।
$\therefore$ যেমন: 6×3 ও 6×5 অর্থাৎ 18 ও 30 ।
$\therefore$ আবার, 6×4 ও 6×7 অর্থাৎ 24 ও 42।
(d) লসাগু $\square$ হবে (একটি এক অঙ্কের সংখ্যা)
ধরা যাক, লসাগু 6
6 ল.সা.গু. হওয়ার জন্যে 6-র উৎপাদকগুলির মধ্যে দুটি পরস্পর মৌলিক উৎপাদক নিতে হবে।
$\therefore 6 = 2\times 3 \times 1 = 2 \times 3 = 6 \times 1$
$\therefore$ এমন সংখ্যা জোড়া হবে (2, 3) ও (6, 1)