আজকের পর্বে আমরা নবম শ্রেণীর গণিত সাজেশন প্রথম সামেটিভ এর প্রশ্নের সমাধান নিয়ে আলোচনা করব। মোট পূর্ণমান 40
1st summative Evaluation Class 9 Mathematics
১। নিচের প্রশ্নগুলির নির্দেশ মতো উত্তর দাও ।
ক) দুটি অমুলদ সংখ্যার মধ্যে –
(অ) কোনো মুলদ সংখ্যা নেই ( আ) একটি মাত্র অমুলদ সংখ্যা আছে (ই) অসংখ্য অমুলদ সংখ্যা আছে (ঈ) কোনো অমুলদ সংখ্যা নেই।উত্তরঃ (ই) অসংখ্য অমুলদ সংখ্যা আছে।
খ) ${{4}^{x}}={{8}^{3}}$ হলে x এর মান হবে –
(অ) $\frac{3}{2}$ (আ) $\frac{9}{2}$ (ই) 3 (ঈ) 9সমাধানঃ
বা, ${{2}^{{{2}^{x}}}}={{2}^{{{3}^{3}}}}$
বা, ${{2}^{2x}}={{2}^{9}}$
অর্থাৎ, 2x = 9
বা, $x=\frac{9}{2}$
উত্তরঃ (আ) $\frac{9}{2}$
গ) P(x) = 5x+1 বহুপদী সংখ্যামালার শুন্য = _______।
সমাধানঃ 5x + 1=0
বা, 5x + 1=0
বা, 5x = 0-1
বা, $x=\frac{-1}{5}$
উত্তরঃ সংখ্যামালার শুন্য $\frac{-1}{5}$
ঘ) ABCD রম্বসের $\angle ACB=40{}^\circ$হলে $\angle ADB$ এর মান হবে -
(অ) $50{}^\circ$ (আ)$110{}^\circ$ (ই)$30{}^\circ$ (ঈ) $120{}^\circ$উত্তরঃ (অ) $50{}^\circ$
সমাধানঃ $\angle ACB=40{}^\circ $
∴ $\angle BCD=40{}^\circ \times 2=80{}^\circ $
∴$\angle ADC=180{}^\circ -80{}^\circ $$=100{}^\circ $
অর্থাৎ, $\angle ADB=100{}^\circ \div 2$$=50{}^\circ $
ঙ) $2x+3=0$ সমীকরণের লেখচিত্রটি -
(অ) x অক্ষের সমান্তরাল (আ) y অক্ষের সমান্তরাল (ই) মূল বিন্দুগামী (ঈ) কোনো অক্ষের সমান্তরাল নয়।
উত্তরঃ (আ) y অক্ষের সমান্তরাল
চ) মূল বিন্দু এবং (3,4) বিন্দু দুটির মধ্যে দূরত্ব হবে -
(অ)3 একক (আ) 1 একক (ই) 4 একক (ঈ) 5 একক
উত্তরঃ (ঈ) 5 একক
সমাধানঃ দূরত্ব= $\sqrt{{{(3-0)}^{2}}+{{(4-0)}^{2}}}$
= $\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}$
= $\sqrt{25}=5$
২। নিচের প্রশ্নগুলির উত্তর দাও
ক) 4 ও 5 এর মধ্যে চারটি মুলদ সংখ্যা লেখ।
সমাধানঃ
4 ও 5 এর মধ্যে মুলদ সংখ্যা
অর্থাৎ, $\frac{4}{1}$ও $\frac{5}{1}$এর মধ্যে মুলদ সংখ্যা
অর্থাৎ, $\frac{4\times 5}{1\times 5}$ও $\frac{5\times 5}{1\times 5}$এর মধ্যে মুলদ সংখ্যা
অর্থাৎ, $\frac{20}{5}$ও $\frac{25}{5}$এর মধ্যে মুলদ সংখ্যা
চারটি মুলদ সংখ্যা হোলো $\frac{21}{5}$ ,$\frac{22}{5}$, $\frac{23}{5}$ , $\frac{24}{5}$
খ) ${{(27)}^{x}}={{(81)}^{y}}$
বা, ${{({{3}^{3}})}^{x}}={{({{3}^{4}})}^{y}}$
অর্থাৎ, 3x = 4y
বা, $\frac{x}{y}=\frac{4}{3}$
বা, x:y = 4:3
গ) k এর কোন মানের জন্য $3x-4y=1$ এবং $9x+ky=2$ সমীকরণদ্বয়ের কোনো সমাধান থাকবে না?
সমাধানঃ শর্তানুসারে, $\frac{3}{9}=\frac{-4}{k}\ne \frac{1}{2}$
বা, $\frac{3}{9}=\frac{-4}{k}$
বা, $3k=-36$
বা, k = -12
ঘ) $0.5\dot{4}$ কে $\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করো যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং $q\ne 0$
সমাধানঃ
$0.5\dot{4}\times 1$ $=0.5444444....$
$0.5\dot{4}\times 10$ $=5.444444....$
$0.5\dot{4}\times 100$ $=54.44444....$
$0.5\dot{4}$ $=\frac{54-5}{100-10}$
$0.5\dot{4}=\frac{49}{90}$
ঙ) k এর কোন মানের জন্য $4{{x}^{2}}-kx+1$ এর একটি উৎপাদক $x-1$ হবে?
সমাধানঃ
$x-1$=0
$x-1$ এর শূন্য হলো 1
বা, x = 1
f(1) = ${{4.1}^{2}}-k.1+1$ =0
বা, 4-k+1=0
বা, -k=5=0
বা, k = -5
চ) ABCD সামন্তরিকের BC বাহু সংলগ্ন দুটি কোণের পরিমানের অনুপাত 4:5 , ঐ কোণ দুটির পরিমাপ কত ?
সমাধানঃ $\angle ABC+\angle BCD=180{}^\circ $
$\angle ABC:\angle BCD=4:5$
$\angle ABC=180{}^\circ \times \frac{4}{9}$$=80{}^\circ $
$\angle BCD=180{}^\circ \times \frac{5}{9}$$=100{}^\circ $
উত্তরঃ কোণ দুটির পরিমাপ 80 ° ও 100 °
৩। $\sqrt{6}$সংখ্যাটিকে সংখ্যারেখায় বসাও।
সমাধানঃ
৪। লেখচিত্র অঙ্কন করে সমাধান করো
$3x-2y=1$
$2x-y=3$
সমাধানঃ
$3x-2y=1$
বা, $3x=1+2y$
বা, $x=\frac{1+2y}{3}$
| x | 1 | 3 | 5 |
| y | 1 | 4 | 7 |
আবার, $2x-y=3$
বা, $2x=3+y$
বা, $x=\frac{3+y}{2}$
| x | 3 | 4 | 5 |
| y | 3 | 5 | 7 |
লেখচিত্র দুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (5,7)
অর্থাৎ, x= 5 ও y = 7
অথবা, $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=2$ সমীকরণটির লেখচিত্র অঙ্কন করো এবং লেখচিত্রটি অক্ষদ্বয়ের সঙ্গে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
$\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=2$
বা, $\frac{4x+3y}{12}=2$
বা, $4x+3y=24$
বা, $4x=24-3y$
বা, $4=\frac{24-3y}{4}$
| x | 6 | 3 | 0 |
| y | 0 | 4 | 8 |
অঙ্কিত লেখচিত্রটি x অক্ষকে (0,8) এবং y অক্ষকে (6,0) বিন্দুতে ছেদ করেছে।
উৎপন্ন সমকোণী ত্রিভুজটির উচ্চটা = 8 একক এবং ভূমির দৈর্ঘ্য = 6 একক
অর্থাৎ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{{\not{2}}}\times 6\times \overset{4}{\mathop{{\not{8}}}}\,$ একক = 24 একক
৫। সমাধান করো
$2x+3y-7=0$
$3x+2y-8=0$
সমাধানঃ
$2x+3y-7=0$ ----- (i) $\times 3$
$3x+2y-8=0$----- (ii) $\times 2$
বা, $6x+9y-21=0$----- (iii)
বা$6x+4y-16=0$----- (iv)
(iii) নং থেকে (iv) নং বিয়োগ করে পাই ,
$9y-4y-21+16=0$
বা, $5y-5=0$
বা, $y=\frac{5}{5}=1$
(i) নং সমিকরণে y এর মান বসিয়ে পাই
$2x+3.1-7=0$
বা, $2x+3-7=0$
বা, $2x-4=0$
বা, $2x=4$
বা, $x=\frac{4}{2}=2$
৬। $x-4$ দ্বারা $(a{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-3)$এবং $(2{{x}^{3}}-5x+a)$ বহুপদী সংখ্যামালা কে ভাগ করলে যদি একই ভাগশেষ থাকে তবে a এর মান নির্ণয় করো ।
$x-4=0$
বা, x = 4
অর্থাৎ $x-4$ এর শুন্য হলো 4
p(x) = $a{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-3$
p(4) = $a{{.4}^{3}}+{{3.4}^{2}}-3$
= $64a+48-3$
ভাগশেষ $=64a+45$
আবার, q(x) = $2{{x}^{3}}-5x+a$
q(x) = ${{2.4}^{3}}-5.4+a$
$=128-20+a$
ভাগশেষ $=108+a$
শর্তানুসারে $64a+45$$=108+a$
বা, $64a-a=108-45$
বা, $63a=63$
বা, $a=\frac{63}{63}=1$
অথবা, ভাগশেষ উপপাদ্য প্রয়োগ করে , $({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x+5)$ কে $(2x+1)$দ্বারা ভাগ করে ভাগশেষ নির্ণয় করো।
সমাধানঃ $2x+1=0$
বা, $2x=-1$
বা, $x=\frac{-1}{2}$
$2x+1$এর শুন্য হলো $\frac{-1}{2}$
f(x) = ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x+5$
$f\left( -\frac{1}{2} \right)$ = ${{(-\frac{1}{2})}^{3}}-3{{(-\frac{1}{2})}^{2}}+2(-\frac{1}{2})+5$
= $-\frac{1}{8}-3.\frac{1}{4}-1+5$
=$\frac{-1}{8}-\frac{3}{4}+4$
= $\frac{-1-6+32}{8}$
$=\frac{25}{8}=3\frac{1}{8}$
৭। একটি প্রশ্নের উত্তর দাও
(ক) প্রমান করো সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
উত্তরঃ উপপাদ্য নং ১৫ , পাঠ্য বই এর পৃষ্ঠা নং ৭৭
(খ) প্রমাণ করো কোনো চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলির দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান হলে , চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক হবে।
উত্তরঃ উপপাদ্য নং ১৬ , পাঠ্য বই এর পৃষ্ঠা নং ৮৩
৮। প্রমাণ করো রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
উত্তরঃ উপপাদ্যঃ প্রয়োগ ২ , পাঠ্য বই এর পৃষ্ঠা নং ৭৭
৯। y এর মান কী হলে , (2,y) এবং (10,-9) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 10 একক হবে?
সমাধানঃ
শর্তানুসারে, $\sqrt{{{(10-2)}^{2}}+{{\{y-(-9)\}}^{2}}}$ $=10$
বা, $\sqrt{{{8}^{2}}+{{(y+9)}^{2}}}$=10
বা, $64+{{(y+9)}^{2}}$=100
বা, 64 + ${{y}^{2}}+18y+81$=100
বা, ${{y}^{2}}+18y+45=0$
বা, ${{y}^{2}}+15y+3y+45=0$
বা, $y(y+15)+3(y+15)=0$
বা, $(y+15)(y+3)=0$
বা, y = -15 এবং y= -3
y এর মান 15 এবং 3