Class 10 mathematics model activity task part 6
দশম শ্রেণী গণিত মডেল অ্যাক্টিভিটি টাস্ক PART 6
ক্লাস টেন অংক পার্ট 6
নীচের প্রশ্নগুলির উত্তর লেখো:
1. বহুমুখী উত্তরধর্মী প্রশ্ন (MCQs):
(i) $x\propto {{y}^{2}}$ এবং y = 3 যখন x = 9; x = 25 -হলে, y-এর ধণাত্মক মান হবে -
(a) 5
(b) 8
(c) 16
(d) 32
উত্তর- (a) 5
সমাধান : $x\propto {{y}^{2}}$
বা , $x=k.{{y}^{2}}$ [ k হল অশুন্য ভেদ ধ্রুবক ]
বা, $k=\frac{x}{{{y}^{2}}}$
বা , $k=\frac{9}{{{3}^{2}}}=\frac{9}{9}=1$
এখন , $x=k.{{y}^{2}}$
বা , ${{y}^{2}}=\frac{x}{k}=\frac{25}{1}$
বা, $y=\sqrt{25}=\pm 5$
(ii) A ও B যথাক্রমে 2500 এবং 2000 টাকা দিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করে। এক বছর পরে ব্যবসায় 720 টাকা ক্ষতি হলে, A-এর ক্ষতি হয়, -
(a) 450 টাকা
(b) 400 টাকা
(c) 320 টাকা
(d) 500 টাকা
উত্তর - (b) 400 টাকা
সমাধান : A ও B এর মূলধনের অনুপাত = 2500 : 2000
= 25 : 20
= 5 : 4
অর্থাৎ A এর ক্ষতি মোট ক্ষতির $\frac{5}{5+4}$অংশ = $\frac{5}{9}$অংশ
অতএব , A এর ক্ষতি = $\overset{80}{\mathop{\not{7}\not{2}\not{0}}}\,\times \frac{5}{{\not{9}}}$টাকা = 400 টাকা ।
(iii) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে C বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করে। AB বৃত্ত দুটির একটি সাধারণ স্পর্শক বৃত্তদুটিকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে, $\angle ACB$ -এর পরিমাপ হলো,-
(a) 60°
(b) 45°
(c) 30°
(d) 90°
উত্তর- (d) 90°
(iv) একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $147\pi $ বর্গসেমি হলে, উহার ব্যাসার্ধ হবে, -
(a) 6 সেমি.
(b) 12 সেমি.
(c) 7 সেমি.
(d) 14 সেমি.
উত্তর - (c) 7 সেমি.
সমাধান : ধরি নিরেট অর্ধগোলকটির ভুমির ব্যাসার্ধ r সেমি ।
∴ অর্ধগোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $3\pi {{r}^{2}}$বর্গ সেমি ।
প্রশ্নানুশারে , $3\pi {{r}^{2}}=147\pi $
বা , $3\not{\pi }{{r}^{2}}=147\not{\pi }$
বা, ${{r}^{2}}=\frac{147}{3}=49$
বা, $r=\sqrt{49}=\pm 7$
এক্ষেত্রে r=7 [ দৈর্ঘ্য সর্বদা ধনাত্মক হয় ]
2. সত্য/মিথ্যা লেখো (T/F):
(i) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে বৃত্তে দুটি স্পর্শক টানা হলো যারা বৃত্তকে যথাক্রমে B ও C বিন্দুতে স্পর্শ করে, তাহলে, AO, BC-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক হবে।
উত্তর : বিবৃতিটি সত্য (T) ।
(ii)
পাশের চিত্রে ST || QR হলে, $\frac{PQ}{PS}=\frac{PR}{PT}$ হবে।
উত্তর – বিবৃতিটি সত্য (T) ।
(iii) শঙ্কুর তির্যক উচ্চতার দ্বিগুণ হলে শঙ্কুর ব্যাসার্ধ হবে উচ্চতা ×$\sqrt{3}$
উত্তর - বিবৃতিটি সত্য (T) ।
(iv) একটি ব্যবসায় A ও B-এর মূলধনের অনুপাত 7:5 এবং A মোট লাভের 140 টাকা পেলে B পায় 125 টাকা।
উত্তর - বিবৃতিটি মিথ্যা (F) ।
3. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন :
(i) তিন বন্ধু A, B এবং C একসঙ্গে কিছু মূলধন নিয়ে একটি বাস ক্রয় করেন। তারা ঠিক করেন যে মোট আয়ের $\frac{2}{5}$ অংশ কাজের জন্য 3:2:2 অনুপাতে ভাগ করে নেবেন। কোনো একমাসে যদি 29260 টাকা আয় হয় তাহলে কাজের জন্য A-এর আয় B-এর আয় থেকে কত বেশি হবে?
উত্তর –
একমাসে মোট আয় হয় = 29260 টাকা।
আয়ের $\frac{2}{5}$টাকা =$29260\times \frac{2}{5}$টাকা = 11704 টাকা
A এর আয় , B এর আয়ের চেয়ে 11704 টাকার $\frac{(3-2)}{3+2+2}$অংশ = $\frac{1}{7}$বেশি ।
A এর আয় , B এর আয়ের চেয়ে $11704\times \frac{1}{7}$টাকা বেশি = 1672 টাকা বেশি ।
(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙ এবং লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3:4 এবং তাদের আয়তনের অনুপাত 9:8; চোঙ ও শঙ্কুর উচ্চতার অনুপাত নির্ণয় করো।
উত্তর – ধরি ,
লম্ববৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা ${{h}_{1}}$একক এবং ব্যাসার্ধ ${{r}_{1}}$একক ।
আবার ধরি , শঙ্কুর উচ্চতা ${{h}_{2}}$একক এবং ব্যাসার্ধ ${{r}_{2}}$একক ।
∴ চোঙের আয়তন = $\pi r_{1}^{2}{{h}_{1}}$ একক।
∴ শঙ্কুর আয়তন = $\frac{1}{3}\pi r_{2}^{2}{{h}_{2}}$ একক
প্রথম শর্তে , ${{r}_{1}}:{{r}_{2}}=3:4$
বা, $\frac{{{r}_{1}}}{{{r}_{2}}}=\frac{3}{4}$
দ্বিতীয় শর্তে , $\pi r_{1}^{2}{{h}_{1}}:\frac{1}{3}\pi r_{2}^{2}{{h}_{2}}=9:8$
বা, $\frac{\not{\pi }r_{1}^{2}{{h}_{1}}}{\frac{1}{3}\not{\pi }r_{2}^{2}{{h}_{2}}}=\frac{9}{8}$
বা , $\frac{3r_{1}^{2}{{h}_{1}}}{r_{2}^{2}{{h}_{2}}}=\frac{9}{8}$
বা , $\frac{{{r}_{1}}^{2}}{{{r}_{2}}^{2}}\times \frac{{{h}_{1}}}{{{h}_{2}}}=\frac{\overset{3}{\mathop{{\not{9}}}}\,}{8\times \not{3}}$
বা , ${{\left( \frac{{{r}_{1}}}{{{r}_{2}}} \right)}^{2}}\times \frac{{{h}_{1}}}{{{h}_{2}}}=\frac{\overset{3}{\mathop{{\not{9}}}}\,}{8\times \not{3}}$
বা, ${{\left( \frac{3}{4} \right)}^{2}}\times \frac{{{h}_{1}}}{{{h}_{2}}}=\frac{9}{8\times 3}$
বা, $frac{{{h}_{1}}}{{{h}_{2}}}=\frac{{\not{9}}}{\not{8}\times 3}\times \frac{\overset{2}{\mathop{\not{1}\not{6}}}\,}{{\not{9}}}=\frac{2}{3}$
বা, ${{h}_{1}}:{{h}_{2}}=2:3$
(iii) যদি $y\propto {{x}^{3}}$ $y\propto {{x}^{3}}$ এবং y-এর বৃদ্ধি 8:27 অনুপাতে হলে x-এর বৃদ্ধি কী অনুপাতে হয় তা নির্ণয় করো।
উত্তর –$y\alpha {{x}^{3}}$এবং y এর বৃদ্ধি 8:27
∴ $y=k.{{x}^{3}}$---(i) [ k হল অশুন্য ভেদ ধ্রুবক ]
ধরি যখন y এর বৃদ্ধি , ${{y}_{1}}=8a$ তখন x এর বৃদ্ধি ${{x}_{1}}$
আবার, যখন y এর বৃদ্ধি , ${{y}_{2}}=27a$ তখন x এর বৃদ্ধি ${{x}_{2}}$
(i) নং সমিকরন থেকে পাই ,
$y=k.{{x}^{3}}$
বা, ${{y}_{1}}=k.{{x}_{1}}^{3}$
বা, $8a=k.{{x}_{1}}^{3}---(ii)$
আবার, $y=k.{{x}^{3}}$
বা, ${{y}_{2}}=k.{{x}_{2}}^{3}$
বা, $27a=k.{{x}_{2}}^{3}---(iii)$
এখন , $(ii)\div (iii)$ করে পাই ,
$\frac{8\not{a}}{27\not{a}}=\frac{\not{k}.{{x}_{1}}^{3}}{\not{k}.{{x}_{2}}^{3}}$
বা, ${{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3}}={{\left( \frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}} \right)}^{3}}$
বা, $\frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}=\frac{2}{3}$
বা, ${{x}_{1}}:{{x}_{2}}=2:3$
উত্তর : x এর বৃদ্ধি 2:3 অনুপাতে হয় ।
4. যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করো যে, বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে যে দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায় তাদের স্পর্শবিন্দু দুটির সঙ্গে বহিঃস্থ বিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ দুটির দৈর্ঘ্য সমান এবং তারা কেন্দ্রে সমান কোণ উৎপন্ন করে।
উত্তর – পাঠ্য বই এর পেজ ২১১ ( উপপাদ্য 41 )
