Class 10 mathematics model activity task part 7
দশম শ্রেণী গণিত মডেল অ্যাক্টিভিটি টাস্ক PART 7
ক্লাস নাইন অংক
নীচের প্রশ্নগুলির উত্তর লেখো:
1. বহুমুখী উত্তরধর্মী প্রশ্ন (MCQs):
(i) ক্রয়মূল্য ও বিক্রয়মূল্যর অনুপাত 100 : 101 হলে, শতকরা লাভ -
(a) 100%
(b) 1%
(c) 1
(d) 100
উত্তর- শতকরা লাভ = (b) 1
সমাধান : প্রতি 100 টাকায় লাভ হয় = (101 – 100) টাকা = ১ টাকা ।
অর্থাৎ 1% লাভ বা শতকরা লাভ 1 টাকা ।
[ এক্ষেত্রে টাকা কথাটি ব্যবহার করা যাবে তাতে কোন ভুল নেই ]
(ii) BCD ত্রিভুজে $\angle BCD$ = 90° এবং BD = 20 সেমি। BD বাহুর মধ্যবিন্দু P হলে, CP-এর দৈর্ঘ্য -
(a) 8 সেমি
(b) 10 সেমি
(c) 12 সেমি
(d) 6 সেমি
উত্তর - (b) 10 সেমি।
(iii) একটি ঘড়ির মিনিটের কাটা ও ঘন্টার কাঁটার গতিবেগের অনুপাত -
(a) 1:24
(b) 1:12
(c) 24:1
(d) 12:1
উত্তর- (d) 12:1
সমাধান : ঘড়ির মিনিটের কাটা 1 ঘণ্টায় যে বৃত্তাকার দূরত্ব (ধরি x একক )অতিক্রম , ঠিক সেই দূরত্ব ঘন্টার কাঁটা 12 ঘণ্টায় অতিক্রম করে ।
∴ মিনিটের কাটা 1 ঘণ্টায় অতিক্রম করে x একক ।
∴ ঘণ্টার কাটা 1 ঘণ্টায় অতিক্রম করে $\frac{x}{12}$একক ।
∴ মিনিটের কাটার গতিবেগ : ঘন্টার কাঁটার গতিবেগ
= $x:\frac{x}{12}$
= 12 : 1
(iv) একটি পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকায় একটি শ্রেণির মধ্যবিন্দু 77 এবং প্রতিটি শ্রেণির শ্রেণি-দৈর্ঘ্য 10 শ্রেণিটির নিম্নসীমা -
(a) 67
(b) 87
(c) 72
(d) 82
উত্তর- (c) 72
সমাধান :
শ্রেণিটির নিম্নসীমা = শ্রেণির মধ্যবিন্দু - $\frac{1}{2}$ শ্রেণি-দৈর্ঘ্য
= 77 - $\frac{1}{2}\times 10$
= 77 -5 = 72
2. সত্য/মিথ্যা লেখো (T/F):
(i) একটি বৃত্তের পরিধি এবং একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা সমান হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ এবং বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত হবে $\pi :2$
উত্তর- বিবৃতিটি মিথ্যা ।
ধরি বৃত্তের ব্যাসার্ধ r একক এবং বর্গক্ষেত্রের বাহু =x একক ।
∴ বৃত্তের পরিধি = $2\pi r$একক ।
∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4x একক ।
শর্তানুসারে , $2\pi r=4x$
বা , $\frac{r}{x}=\frac{\overset{2}{\mathop{{\not{4}}}}\,}{\not{2}\pi }=\frac{2}{\pi }$
অর্থাৎ , r : x = 2 : π
(ii) 10% ছাড় দিয়ে বিক্রি করায় একটি বই-এর বিক্রয়মূল্য হয় 900 টাকা, বইটির ধার্য্যমূল্য হয় 1000 টাকা
উত্তর – বিবৃতিটি সত্য ।
ধার্যমুল্য 1000 টাকা হলে ছাড় = $10\not{0}\not{0}\times \frac{10}{1\not{0}\not{0}}$ টাকা = 100 টাকা ।
∴ বিক্রয়মূল্য = (1000 – 100) টাকা = 900 টাকা ।
(iii) একটি ট্রাপিজিয়াম আকার ক্ষেত্রের তির্যক বাহুদুটির মধ্যবিন্দুর সংযোগকারী সরলরেখাংশ সমান্তরাল বাহুদুটির সমান্তরাল
উত্তর - উত্তর – বিবৃতিটি সত্য ।
(iv) কোনো শ্রেণিবিন্যাসিত রাশিতথ্যের কোনো শ্রেণির শ্রেণি পরিসংখ্যা ও মোট পরিসংখ্যার অনুপাতকে ওই শ্রেণিটির পরিসংখ্যা ঘনত্ব বলা হয়।
উত্তর - উত্তর – বিবৃতিটি মিথ্যা ।
সমাধান : পরিসংখ্যা ঘনত্ব =
3. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন :
(i) একটি সমবাহু ত্রিভুজ ABC-এর প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 8 সেমি.: AB ও AC-এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q । PQ-এর দৈর্ঘ্য এবং $\angle APQ$ -এর মান নির্ণয় করো।
উত্তর –
যেহেতু $\vartriangle ABC$ একটি সমবাহু ত্রিভুজ ,
∴ AB = BC = CA = 8 সেমি ।
AB ও AC এর মধ্যবিন্দু P ও Q ।
∴ AP = AQ = $\frac{1}{2}\times 8$সেমি = 4 সেমি ।
আমরা জানি , প্রমাণ কর যে, ত্রিভূজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।
∴ PQ = $\frac{1}{2}\times 8$সেমি = 4 সেমি ।
∴ AP = PQ = AQ = 4 সেমি ।
অর্থাৎ , $\vartriangle APQ$ একটি সমবাহু ত্রিভুজ ।
∴ $\angle APQ={{60}^{\circ }}$[ সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ ${{60}^{\circ }}$করে ]
(ii) একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য চারগুণ করলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?
উত্তর -
ধরি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য a একক ।
∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = $\frac{\sqrt{3}}{4}\times $বাহু2 একক ।
= ${{a}^{2}}\times \frac{\sqrt{3}}{4}$একক ।
ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য চারগুন করলে নতুন বাহুর দৈর্ঘ্য হয় = 4a একক ।
নতুন ক্ষেত্রফল হয় = $\frac{\sqrt{3}}{4}\times {{(4a)}^{2}}$একক
= $16{{a}^{2}}\times \frac{\sqrt{3}}{4}$একক
∴ ক্ষেত্রফল বাড়বে = $\left( 16{{a}^{2}}\times \frac{\sqrt{3}}{4}-{{a}^{2}}\times \frac{\sqrt{3}}{4} \right)$একক
= $15{{a}^{2}}\times \frac{\sqrt{3}}{4}$একক
∴ ক্ষেত্রফলের শতকরা বৃদ্ধি
= × 100
= $\frac{15{{{\not{a}}}^{2}}\times \frac{\sqrt{3}}{4}}{{{{\not{a}}}^{2}}\times \frac{\sqrt{3}}{4}}\times 100$ %
= 1500 %
উত্তর : ক্ষেত্রফল বাড়বে 1500% ।
4. নীচের পরিসংখ্যা বিভাজন ছকের আয়তলেখ অঙ্কন করো :
| শ্রেণী |
1-10 |
11-20 |
21-30 |
31-40 |
41-50 |
51-60 |
|---|---|---|---|---|---|---|
পরিসংখ্যা |
8 |
3 |
6 |
12 |
2 |
7 |
উত্তর -
| শ্রেণী | শ্রেণী সীমানা | শ্রেণী দৈর্ঘ্য | পরিসংখ্যা |
|---|---|---|---|
| 0-10 | 0.5-10.5 | 10 | 8 |
| 11-20 | 10.5-20.5 | 10 | 3 |
| 21-30 | 20.5-30.5 | 10 | 6 |
| 31-40 | 30.5-40.5 | 10 | 12 |
| 41-50 | 40.5-50.5 | 10 | 2 |
| 51-60 | 50.5-60.5 | 10 | 7 |
X অক্ষ বরাবর প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = 2 একক ।
Y অক্ষ বরাবর প্রতিটি ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = 1 একক ।
5. যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করো যে, একই ভুমি ও একই সমান্তরাল সরলরেখাংশযুগলের মধ্যে অবস্থিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সামন্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক।
উত্তর – উপপাদ্য 24 ( page no 182)
প্রদত্ত : $\vartriangle $ABC ও সামান্তরিক ABDE একই ভূমি AB ও একই সমান্তরাল সরলরেখাংশযুগল AB ও CD-এর মধ্যে (i) নং ছবির ক্ষেত্রে বা AB ও ED-এর মধ্যে (ii) নং ছবির ক্ষেত্রে অবস্থিত।
প্রমাণ করতে হবে যে : $\vartriangle $ABC = $\frac{1}{2}$ সামান্তরিক ABDE অর্থাৎ ABC ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ABDE সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক।
অঙ্কন: A বিন্দুদিয়ে BC-এর সমান্তরাল সরলরেখা অঙ্কন করলাম যা বর্ধিত DC বা DE কে F বিন্দুতে ছেদ করল।
প্রমাণ : ∴ ABCF চতুর্ভুজের
AB || FC (প্রদত্ত)
AF || BC (অঙ্কনানুসারে)
∴ ABCF একটি সামান্তরিক।
সামান্তরিক ABDE ও সামান্তরিক ABCF একই ভূমি AB ও একই সমান্তরাল সরলরেখাংশযুগল AB ও FD-এর মধ্যে অবস্থিত।
∴ ABDE সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল= ABCF সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
আবার, সামান্তরিক ABCF-এর কর্ণ AC