আজকে আমরা আলোচনা করব দশম শ্রেণীর গণিতের ভেদ (Variation) নিয়ে। তবে ভেদ সম্পর্কে আলোচনার পূর্বে চলরাশি (Variable) ও ধ্রুবক (Constant) সম্পর্কে স্পষ্ট ধারণা থাকতে হবে। তাই আজকের আলোচনা শুরু করবো চলরাশি অধ্যাপক নিয়ে। তাহলে চলো শুরু করা যাক আজকের আলোচনা:
ভেদ কাকে বলে | ভেদের প্রকারভেদ | যৌগিক ভেদের উপপাদ্য বা সূত্র
চলরাশি কাকে বলে?
কোনো রাশিমালা কোন একটি রাশির মান এর বিভিন্ন তার জন্য যদি অন্য কোন একটি রাশির মান এর পরিবর্তন হয়। তাহলে দ্বিতীয় রাশিটিকে চলরাশি বা Variable বলা হবে।উদাহরণ হিসেবে তোমার বয়স ভেবে নিতে পারো। প্রতি মুহূর্তে তোমার বয়স পরিবর্তন হচ্ছে। তাই তোমার বয়স একটি চলরাশি।আবার দোকানে গিয়ে যখন তুমি কলম কিনবে তখন কলমের মোট দাম একটি চলরাশি হবে কারণ যত বেশি কলম তুমি কিনবে মোট দাম তত বেশি হবে। এখানে মোট দাম কলমের সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত।
ধ্রুবক কাকে বলে?
কোন রাশি মেলায় যে রাশির মান পরিবর্তনশীল নয় সেই রাশিকে ধ্রুবক বা কনস্ট্যান্ট বলে।যেমন যেকোনো সংখ্যায় একটি ধ্রুবক রাশি। যেমন 2, এই সংখ্যাটির মান সর্বদা 2 থাকবে। যেকোনো অবস্থাতেই, যেকোনো স্থানে 2 এর মান পরিবর্তিত হবে না।
অন্যভাবে বললে “BOOK” শব্দের বানানে যতগুলো অক্ষর ব্যবহৃত হবে তা সর্বদা একটি ধ্রুবক সংখ্যা অর্থাৎ 4।
ভেদ কয় প্রকার ও কি কি ?
ভেদ প্রধানত তিন প্রকার। যথা:- (i) সরল ভেদ
- (ii) ব্যস্ত ভেদ
- (iii) যৌগিক ভেদ।
সরল ভেদ: দুটি পরস্পর সম্পর্কিত চলরাশি যদি এমন হয় যে , একটির মান বৃদ্ধি পেলে অপরটিরও বৃদ্ধি পায় বা একটির মান হ্রাস পেলে অপরটির ও হ্রাস পায়। তখন ওই দুটি চলরাশির মধ্যকার সম্পর্ককে সরলভেদ বলা হয়।
যদি a ও b পরস্পর সরল ভেদে থাকে। তাহলে সেটিকে সাংকেতিক ভাষায় লেখা হয়,
$a\propto b$ অর্থাৎ a প্রপশনাল b ।
বা, $\frac{a}{b}=k$
[ এখানে k কে অশুন্য ভেদ ধ্রুবক বলা হয়। ]
অর্থাৎ, দুটি চলরাশি পরস্পর সরল ভেদে থাকলে তাদের ভাগফল সর্বদা ধ্রুবক হয়।
সরল ভেদের বাস্তব উদাহরণ:
সাইকেল এর সংখ্যা বৃদ্ধি পেলে মোট চাকার সংখ্যা বৃদ্ধি পাবে। তাই সাইকেলের সংখ্যা ও চাকার সংখ্যা সরল ভেদে আছে।সাইকেল $\propto $ চাকা [সাইকেল=cycle এবং চাকা=wheel ]
বা, $\frac{cycle}{wheel}=k$
সাইকেলের চাকার এই বাস্তব ক্ষেত্রে আমরা জানি কে এর মান 2। কেননা একটি সাইকেলে দুটি করে চাকা থাকে।
ব্যস্ত ভেদ: দুটো চলরাশির মধ্যে যখন একটি রাশির মান বৃদ্ধি পেলে অপরটির মান হ্রাস পায় কিংবা একটি রাশির মান হ্রাস পেলে অপরটির মান বৃদ্ধি পায়, তখন ওই রাশি দুটি ব্যস্ত ভেদে আছে বলা হয়।
যদি x ও y পরস্পর ব্যস্ত ভেদে থাকে তখন সেটিকে সাংকেতিক ভাষায় লেখা হয় x$\propto \frac{1}{y}$
বা, xy$\propto $ k
[ এখানে k কে অশূন্য ভেদ যুবক বলা হয়। ]
"ভেদ ধ্রুবক" এর মান সর্বদাই অশূন্য হয় অর্থাৎ ধ্রুবকের মান কখনো শূন্য হয় না। তাই ভেদ ধ্রুবক কে অন্য ভেদ ধ্রুবক ও বলা হয়। শুধু " ভেদ ধ্রুবক" লিখলেও চলবে।
অর্থাৎ, দুটি চলরাশি পরস্পর ব্যস্ত ভেদে থাকলে তাদের গুণফল সর্বদা ধ্রুবক হয়।
ব্যস্ত ভেদের বাস্তব উদাহরণ:
যখন কোন জমি চাষ করার জন্য শ্রমিক (worker) লাগানো হয় তখন সময় ও শ্রমিকের সংখ্যা ব্যস্ত ভেদে থাকে। কারণ শ্রমিকের সংখ্যা বৃদ্ধি পেলে সময় কম লাগে আর শ্রমিকের সংখ্যা কমে গেলে সময় বেশি লাগে।সময় $\propto \frac{1}{wor\ker }$
বা, সময় × শ্রমিক=k
এই বাস্তব ক্ষেত্রে আমরা জানি k এর মান বলা সম্ভব নয়। তবে যদি গাণিতিক সমস্যার প্রথমেই বলা থাকে কত জন শ্রমিককে কতদিনে কাজটি করতে পারবে তাহলে k এর মান বলা সম্ভব হবে।
অর্থাৎ যদি প্রথমে এমন বলা থাকতো,
6 জন শ্রমিক এ একটি কাজ 5 দিনে করতে পারে। তাহলে সম্পূর্ণ কাজটি করতে 2 জন শ্রমিকের কতদিন লাগবে?
তখন k এর মান হত 6×5=30
যৌগিক ভেদ কাকে বলে
যদি একটি চলরাশি অন্য একাধিক চলরাশির গুণফল এর সঙ্গে সরল ভেদে থাকে ,তবে প্রথম চলরাশি অপর চলরাশি গুলির সঙ্গে যৌগিক ভেদে আছে বলা হয়।যৌগিক ভেদের উপপাদ্য লেখ:
x, y, x তিনটি চলরাশি এমন সম্পর্কযুক্ত যে, x$\propto $ y যখন z অপরিবর্তিত থাকে এবং x$\propto $ z যখন y অপরিবর্তিত থাকে, তবে x$\propto $ yz হবে , যখন y এবং z উভয় ই পরিবর্তনশীল।আবার এভাবেও বলা যায়,
x, y, z তিনটি চলরাশি এমন সম্পর্কযুক্ত যে, x$\propto $ y যখন z অপরিবর্তিত থাকে এবং x$\propto \frac{1}{z}$ যখন y অপরিবর্তিত থাকে, তবে x$\propto \frac{y}{z}$ হবে , যখন y এবং z উভয় ই পরিবর্তনশীল।